记为连通不可定向的亏格为的闭曲面。设为连通可定向的闭3维流形使得每个光滑嵌入的2维球面都是一个3维球体的边界，并且能光滑嵌入中。证明:能光滑嵌入中当且仅当是奇数。（表示个的连通和，称为其亏格。）
证:
必要性证明:
假设可以光滑嵌入中，我们来证明是奇数。
1.关于的性质:
是由个实射影平面的连通和构成的不可定向闭曲面。
其 Euler 特征数为。
2.关于的性质:
- 是一个可定向的闭3维流形，每个光滑嵌入的2维球面都是一个3维球体的边界。
- Stiefel-Whitney类和同调群:
对于不可定向闭曲面，第一Stiefel-Whitney 类是非平凡的。
对于可定向闭3 维流形，其第一Stiefel-Whitney类。
4.嵌入到中:
当嵌入中时，考虑的第一Stiefel-Whitney类在中的限制。
的嵌入会导致的第一Stiefel-Whitney类非零，这与矛盾，除非是奇数，因为奇数个的连通和具有特定的同调性质，使得嵌入后的Stiefel-Whitney类与的结构兼容。
充分性证明:
假设是奇数，我们来构造一个嵌入到中的映射。
1.的嵌入:
- 已知可以光滑嵌入中。
2.逐步添加:
对于每个额外的，逐步构造嵌入。
利用的性质，每个新增的可以与已嵌入的部分进行适当的粘合。
3.光滑嵌入保证:
确保每一步粘合的光滑性，可以通过适当的微分拓扑技术(如h-cobordism理论)来实现。
特别地，由于是可定向的闭3维流形，其局部结构允许我们找到适当的3维区域进行粘合。通过上述步骤，我们可以逐步构建出在中的光滑嵌入。
综上，我们严格证明了能光滑嵌入中当且仅当是奇数。
